Cauchy-Schwarzi võrratus

Cauchy-Schwarzi võrratus (ka Cauchy-Schwarzi-Bunjakovski võrratus) on võrratus, mis ütleb, et vektorite skalaarkorrutise moodul pole suurem vektorite pikkuste (normide) korrutisest:

$\left| \langle x, y \rangle \right| \leq \| x \| \|y\| \, ,$

kus $\langle x, y \rangle$ ja $\| x \|, \|y\|$ vastavalt vektorite $x, y \in V$ skalaarkorrutis ja pikkused ning V on mõni skalaarkorrutisega vektorruum. Võrratuse asemel on võrdus parajasti siis, kui x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Erijuhud

• Eukleidilises ruumis $\R^n$ kehtib:

$\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)$.

• Ruutintegreeruvate funktsioonide ruumis

$\left|\int f(x) g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx.$

Tõestuse idee

Vaatame suurust $\|x + \lambda y\|^2$, kus $\lambda$ on suvaline kompleksarv ja x ja y vektorid. Trikk tõestuse juures juures on moodustada vektor $x + \lambda y$ ja arvutada selle vektori pikkus, mis ei saa olla negatiivne:

$\|x + \lambda y\|^2 = \langle x + \lambda y, x + \lambda y \rangle = \|x\|^2 + \lambda\langle x, y \rangle + \lambda^{*}\langle y, x \rangle + |\lambda|^2\|y\|^{2} \geq 0 \, ,$

Sellest võrratusest saab tuletada Cauchy-Schwarzi võrratuse, kui leiame sobiva $\lambda$ väärtuse. Valime $\lambda$ väärtuse nii, et vektori $x + \lambda y$ pikkus võimalikult väike oleks. Sobivaks $\lambda$ väärtuseks osutub

$\lambda = -\frac{\langle y, x \rangle}{\|y\|^2} .$

Asendades $\lambda$ esimesse võrratusse näeme, et

$\|x + \lambda y\|^2 = \|x\|^2 - |\langle x, y \rangle|^2 \|y\|^{-2} \geq 0 \, .$

Korrutades saadud võrratuse läbi vektori y pikkuse ruuduga ja viies skalaarkorrutise teisele poole võrratuse märki, leiame, et

$\|x\|^2\|y\|^{2} \geq |\langle x, y \rangle|^2 \, ,$

millest ruutjuure võtmine annab Cauchy-Schwarzi võrratuse. Märkigem, et võrdus realiseerub parajasti siis, kui $\|x + \lambda y\| = 0$, mis tähendab, et x = -$\lambda$ y ehk x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Vaata ka

• Hölderi võrratus – Cauchy-Schwarzi võrratuse üldistus