Cauchy-Schwarzi võrratus

Allikas: Vikipeedia

Cauchy[1]-Schwarzi[2] võrratus (ka Cauchy-Schwarzi-Bunjakovski[3] võrratus) on võrratus, mis ütleb, et vektorite skalaarkorrutise moodul pole suurem vektorite pikkuste (normide) korrutisest:

 \left| \langle x, y \rangle \right| \leq \| x \| \|y\| \, ,

kus \langle x, y \rangle ja \| x \|, \|y\| vastavalt vektorite x, y \in V skalaarkorrutis ja pikkused ning V on mõni skalaarkorrutisega vektorruum. Võrratuse asemel on võrdus parajasti siis, kui x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Erijuhud[muuda | redigeeri lähteteksti]

  • Eukleidilises ruumis \R^n kehtib:
\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right) .
  • Ruutintegreeruvate funktsioonide ruumis
\left|\int f(x) g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx.

Tõestuse idee[muuda | redigeeri lähteteksti]

Vaatame suurust \|x + \lambda y\|^2, kus \lambda on suvaline kompleksarv ja x ja y vektorid. Trikk tõestuse juures juures on moodustada vektor x + \lambda y ja arvutada selle vektori pikkus, mis ei saa olla negatiivne:


   \|x + \lambda y\|^2
=  \langle x + \lambda y, x + \lambda y \rangle
=  \|x\|^2 + \lambda\langle x, y \rangle + \lambda^{*}\langle y, x \rangle + |\lambda|^2\|y\|^{2} \geq 0 \, ,

Sellest võrratusest saab tuletada Cauchy-Schwarzi võrratuse, kui leiame sobiva \lambda väärtuse. Valime \lambda väärtuse nii, et vektori x + \lambda y pikkus võimalikult väike oleks. Sobivaks \lambda väärtuseks osutub


    \lambda = -\frac{\langle y, x \rangle}{\|y\|^2} .

Asendades \lambda esimesse võrratusse näeme, et


   \|x + \lambda y\|^2
=  \|x\|^2 - |\langle x, y \rangle|^2 \|y\|^{-2}  \geq 0 \, .

Korrutades saadud võrratuse läbi vektori y pikkuse ruuduga ja viies skalaarkorrutise teisele poole võrratuse märki, leiame, et


 \|x\|^2\|y\|^{2}  \geq |\langle x, y \rangle|^2 \, ,

millest ruutjuure võtmine annab Cauchy-Schwarzi võrratuse. Märkigem, et võrdus realiseerub parajasti siis, kui \|x + \lambda y\| = 0, mis tähendab, et x = -\lambda y ehk x ja y on lineaarselt sõltuvad.

Vaata ka[muuda | redigeeri lähteteksti]

Märkmed[muuda | redigeeri lähteteksti]

  1. Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), prantsuse matemaatik.
  2. Hermann Amandus Schwarz (1843–1921), saksa matemaatik.
  3. Viktor Bunjakovski (1804–1889), ukraina/vene matemaatik.

Välislingid[muuda | redigeeri lähteteksti]

Video icon2.png Salman Khan. LINEAR ALGEBRA » Proof of the Cauchy-Schwarz Inequality, October 09, 2009. (Khan Academy). http://khanexercises.appspot.com/. (xHTML) Kasutatud 11.02.2011. (inglise keeles)  Litsents: CC-logo.svg