Blokkmaatriks

Maatriksite teoorias (matemaatika harus) nimetatakse blokkmaatriksiks maatriksit, mille elementideks on omakorda maatriksid. Viimaseid nimetatakse blokkideks. Iga maatriksit saab käsitleda blokkmaatriksina, mis koosneb ühest blokist.

Näide

Maatriksi

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 4 & 4\\ 3 & 3 & 4 & 4\end{pmatrix}$

saab jaotada neljaks 2×2-blokiks

$A_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, A_{12} = \begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}, A_{21} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}, A_{22} = \begin{pmatrix} 4 & 4\\ 4 & 4\end{pmatrix}.$

Maatriksi A saab nüüd blokkmaatriksina ümber kirjutada:

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22}\end{pmatrix}.$

Definitsioon

Olgu iga $i = 1, . . . , k$, $j = 1, . . . , l$ jaoks antud m_i × n_j-maatriks $A_{ij}$ ($m_i$ ja $n_j$ on naturaalarvud, mis sõltuvad vastavalt $i$-st ja $j$-st). Blokkmaatriksiks nimetatakse maatriksit $A = (A_{ij})$; maatrikseid $A_{ij}$ nimetatakse maatriksi $A$ blokkideks.

Blokkmaatriksite korrutamine

Blokkmaatriksite korrutamist saab teostada blokkide kaudu. Olgu antud m × k-maatriks $A$, mille ridades on q blokki ja veergudes p blokki

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1s}\\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2s}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ A_{q1} & A_{q2} & \cdots & A_{qs}\end{pmatrix}$,

ning k × n-maatriks $B$, mille read on jaotatud q ja veerud p blokiks

$B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r}\\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{sr}\end{pmatrix}$,

siis maatrikskorrutise

$C=AB \,$

saab leida blokkhaaval, kusjuures $C$ on m × n-maatriks, mille ridades on q blokki ja veergudes p blokki. Maatriksi $C$ blokid on

$C_{\alpha \beta} = \sum^s_{\gamma=1}A_{\alpha \gamma}B_{\gamma \beta}.$

Blokk-diagonaalsed maatriksid

Blokk-diagonaalne maatriks ehk kast-diagonaalmaatriks on ruutmaatriks, mille peadiagonaali elementideks on ruutmaatriksid (blokid) nii, et kõik ülejäänud elemendid on nullid. Blokk-diagonaalse maatriksi üldine kuju on

$A = \begin{pmatrix} A_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_{n} \end{pmatrix}$,

kus iga $A_{i}$ on ruutmaatriks; teisisõnu on see maatriksite $A_{1}$, ... , $A_{n}$ otsesumma, mida võib tähistada, kui $A_{1}\oplus A_{2} \oplus ... \oplus A_{n}$ või sarnaselt diagonaalsete maatriksitega $\operatorname{diag}(A_{1}, A_{2}, ... , A_{n})$. Iga ruutmaatriksit võib käsitleda kui ühest blokist koosnevat diagonaalset blokkmaatriksit.

Blokk-diagonaalse maatriksi deteminandi ja jälje jaoks kehtib

$\operatorname{det} A = \operatorname{det} A_1 \cdots \operatorname{det} A_n$,

$\operatorname{tr} A = \operatorname{tr} A_1 +\cdots +\operatorname{tr} A_n$.

Blokk-kolmnurkmaatriksid

Blokk-kolmnurkmaatriksid on kolmnurkmaatriksid, mille elementideks on blokid (ehk maatriksid). Analoogselt kolmnurkmaatriksitega saab rääkida ülemistest ja alumistest blokk-kolmnurkmaatriksitest.

Otsesumma

 Pikemalt artiklis otsesumma

Iga maatriksi $A$ (m × n-järku) ja $B$ (p × q-järku), saab konstrueerida maatriksite $A$ ja $B$ otsesumma

$A \oplus B = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{mn} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1q} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{p1} & \cdots & b_{pq} \end{pmatrix}.$

Näiteks

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

Paneme tähele, et maatriksite vektorruumide otsesumma on väljendatav maatriksite otsesummana.

Tensorkorrutis

 Pikemalt artiklis tensorkorrutis