Baas (topoloogia)

See artikkel räägib lahtisest baasist; kinnise baasi kohta vaata artiklit Kinnine baas

Baas ehk topoloogia baas ehk lahtine baas ehk topoloogilise ruumi baas on topoloogilise ruumi $X$ lahtiste alamhulkade niisugune pere, et iga lahtine hulk topoloogilises ruumis $X$ on baasi elementide ühend.

Baasi mõiste on üks topoloogia põhimõisteid. Paljudes küsimustes, mis puutuvad mingi ruumi lahtistesse hulkadesse, on piisab piirduda selle ruumi baasi elementide vaatlemisega.

Sageli esitatakse topoloogia baas selleks, et topoloogiat defineerida. Näiteks meetrilisel ruumil defineeritakse topoloogia baasi kaudu, mille moodustavad kõik lahtised kerad.

Omadused [muuda]

Topoloogilisel ruumil võib olla palju baase. Suurim neist on kõigi lahtiste hulkade hulk. Teispidiselt ei vasta ühele baasile mitu topoloogiat ehk igale baasile vastab unikaalne topoloogia. Viimane omadus võimaldab topoloogiaid defineerida baasi määratlemise kaudu.

Baaside kaks olulist omadust on:

Baas katab hulga $X$ .
Olgu $B_2$ , $B_2$ baasi elemendid ja $I$ nende ühisosa, siis iga punkti $x \in I$ jaoks leidub baasi element $B_3$ , mis kuulub ühisossa $I$ ja mis sisaldab punkti $x$ .

Ükski $X$ alamhulkade kogum, mis ei rahulda üht ülaltoodud tingimiustest ei saa olla ühegi $X$ topoloogia baas. Teistpidiselt, kui mõni $X$ alamhulkade kogum $B$ rahuldab ülaltoodud tingimusi, siis leidub üheselt määratud topoloogia hulgal $X$ , mille baasiks on $B$ . Sellise baasi määratlemine on väga tavapärane viis topoloogiate defineerimiseks. Märkigem veel, et piisav ((kuid mitte tarvilik) on nõuda, et $B$ oleks suletud ühisosade võtmise suhtes. Sel juhul saab teine ülaltoodud tingimustest alati täidetud, sest võib vaida $B_3 = I$ .

Näited [muuda]

Kui $X$ ja $Y$ on topoloogilised ruumid topoloogiate baasidega $\mathfrak{B}_X$ ja $\mathfrak{B}_Y$ , siis topoloogia ruumide korrutisel $X\times Y$ antakse baasi

$\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}$ abil.
Seejuures ei sõltu topoloogia ruumil $X\times Y$ sellest, milliseid ruumide X ja Y baase kasutatakse topoloogia defineerimiseks. Niisugust topoloogiat nimetatakse topoloogiliste ruumide korrutise (standardseks) topoloogiaks.

Reaalarvude ruumi $\R$ topoloogia defineeritakse kõigi vahemike $(a,b)$ süsteemi abil, mis moodustab selle topoloogia baasi. Analoogselt defineeritakse ruumi ${\R}^n$ topoloogia lahtiste ristkülikute $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_n,b_n)$ baasi abil, ja see topoloogia langeb ilmselt kokku ruumide otsekorrutise standardse topoloogiaga.