Abeli-Ruffini teoreem

Abeli-Ruffini teoreem ehk Abeli teoreem algebralistest võrranditest ehk Abeli võimatuse teoreem on teoreem, mis väidab, et 5. ja kõrgema astme algebralistel võrranditel puuduvad algebraliste avaldistena esitatavad üldlahendid. Selle kohta öeldakse ka, et nad ei ole radikaalides lahenduvad ehk neil puuduvad algebralised lahendid.

Algebra põhiteoreemi järgi on kõigil algebralistel võrranditel olemas kompleksarvulised lahendid. Abeli-Ruffini teoreem väidab, et kõrgema kui neljanda astme algebraliste võrrandite puhul ei saa anda üldisi valemeid võrrandite kordajatest ning ratsionaalarvulistest konstantidest lahendite arvutamiseks aritmeetiliste tehete ja juurimise abil (ega ka algoritmi sobiva avaldise leidmiseks, sest kõiki selliste võrrandite lahendeid ei saa võrrandi kordajatest niimoodi avaldada). Lahendid on arvutusmeetodite, näiteks Newtoni meetodi või Laguerre'i meetodi abil saada mis tahes täpsusega.

Mõnel kõrgemat järku võrrandil on lahendeid, mida saab aritmeetiliste tehete ja juurimise teel avaldada. Näiteks võrrandil $x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0$ on lahend $x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{5}]{16}}$.

Analüütiliselt saab lahendada homogeenseid võrrandeid ja sümmeetrilisi võrrandeid.

Triviaalselt on radikaalides lahenduvad võrrandid, mille kõik juured on ratsionaalarvud, sest neid saab esitada ratsionaalarvuliste konstantidena. Lihtsaim mittetriviaalne näide on võrrand xⁿ = a, kus a on positiivne reaalarv. Sel on n lahendit:

$x={\sqrt[{n}]{a}}\cdot e^{i2\pi k/n},\quad k=0,1,\dots ,n-1.\$

Avaldis $e^{i2\pi k/n}$, mis sisaldab eksponentsiaalfunktsiooni, annab tegelikult lihtsalt ${\sqrt[{n}]{1}}$ eri väärtused (n-indad ühejuured), nii et asi taandub juurimisele.

Esitus Galois' teoorias

Galois' teooria kirjeldab polünoomide juurte permutatsioonide rühma.

Abeli-Ruffini teoreemi tõestamiseks tõestatakse kaks väidet:

• Kui polünoomi aste $n$ on 5 või suurem, siis polünoomi Galois' rühm on sümmeetriline rühm $S_{n}$.
• Kui $n\geq 5$, siis sümmeetriline rühm $S_{n}$ ei ole lahenduv.

Ajalugu

Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni, 1799

Teoreemi esimese tõestuse avaldas 1799 Paolo Ruffini. Tõestuses olid mõned ebatäpsused.

Aastal 1824 avaldas täieliku tõestuse Niels Henrik Abel.

Évariste Galois tõestas teoreemi sõltumatult töös, mis avaldati postuumselt 1846. Galois' teooria võimaldas anda tõestusele tänapäevase kuju.

Vaata ka

• Võrrandite teooria
• Cardano valem
• Ferrari meetod
• Algebralise võrrandi resolvent
• Viienda astme võrrand
• Bringi juur
• Kuuenda astme võrrand
• Konstrueeritav arv

Kirjandus

• Edgar Dehn. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois. Columbia University Press, 1930. ISBN 0-486-43900-3.
• Ian Stewart. Galois Theory. Chapman and Hall, 1973. ISBN 0-412-10800-3.
• John B. Fraleigh. A First Course in Abstract Algebra. Fifth Edition. Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-59291-6.
• Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-86-3.
• Siegfried Bosch, Algebra. 6. trükk. Springer, 2006. ISBN 3-540-29880-0, ISBN 978-3-540-29880-9.
• Nathan Jacobson, Basic algebra 1 (2, trükk), Dover 2009, ISBN 978-0-486-47189-1

Välislingid

• Abel's Impossibility Theorem, MathWorld
• Abel's Impossibility Theorem, everything2