Ühe muutujaga ruutvõrratus

Ühe muutujaga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust üldkujuga $ax^{2}+bx+c>0$ või ($ax^{2}+bx+c<0$ või $ax^{2}+bx+c\geq 0$ või $ax^{2}+bx+c\leq 0$), milles a, b ja c on antud arvud ($a\neq 0$) ja x on tundmatu.

Ruutvõrratuse lahendamise etapid

Olgu meil antud ruutvõrratus kujul $ax^{2}+bx+c<0$. Ruutvõrratuse lahendamist alustame esmalt ruutfunktsiooni $y=ax^{2}+bx+c$ nullkohtade leidmisest. Selleks lahendame ruutvõrrandi $ax^{2}+bx+c=0$. Järgnevalt kanname reaalarvude teljele leitud nullkohad ning skitseerime ruutfunktsiooni graafiku. Ruutfunktsiooni graafiku skitseerimisel peame pidama meeles:

• kui a>0 (ruutliikme kordaja on positiivne), siis ruutfunktsiooni graafikuks olev parabool avaneb üles
• kui a<0 (ruutliikme kordaja on negatiivne), siis ruutfunktsiooni graafikuks olev parabool avaneb alla

Näide 1

Lahendame ruutvõrratuse $x^{2}-9x+14\leq 0$.

• lahendame ruutvõrrandi $x^{2}-9x+14=0$ ja saame lahenditeks $x_{1}=2$ ja $x_{2}=7$;
• Kanname reaalarvude teljele leitud nullkohad ning joonestame läbi leitud punktide ruutfunktsiooni graafikuks oleva parabooli. Kuna ruutliikme kordaja on positiivne, avaneb parabool üles.
• leiame jooniselt, milliste väärtuste korral on $y\leq 0$. Saame vastuseks: $x\in [2;7]$. Seda võib märkida üles ka kujul $2\geq x\leq 7$

Näide 2

Lahendame ruutvõrratuse $-16x^{2}+24x-9\geq 0$.

• Mugavuse huvides korrutame võrratuse läbi -1, et saada ruutliikme kordaja positiivseks. Siinkohal peame meeles, et negatiivse arvuga korrutades muutub võrratuse märk vastupidiseks:

$-16x^{2}+24x-9>0|\cdot (-1)\Leftrightarrow 16x^{2}-24x+9<0$

• Järgnevalt leiame ruutfunktsiooni $y=16x^{2}-24x+9$ nullkohad, lahendades ruutvõrrandi $16x^{2}-24x+9=0$

Lahenditeks saame $x_{1}=x_{2}=0,75$

• Kanname reaalarvude teljele leitud nullkohad ning joonestame läbi leitud punktide ruutfunktsiooni graafikuks oleva parabooli. Piirkondade leidmiseks vaatame algteksti. Kuna ruutliikme kordaja on negatiivne, avaneb parabool alla.
• Võrratuste lahenditeks on kõik mittenegatiivsed reaalarvud. Ainukeseks lahendiks tuleb seetõttu $x=0,75$

Näide 3

Lahendame võrratuse kujul (x+1)(3-2x)>0. Selleks leiame esimese sammuna väärtused, millal korrutis (x+1)(3-2x)=0. Korrutis on null siis, kui üks tema liikmetest on võrdne nulliga. Järelikult $(x+1)=0\Rightarrow x=-1$ ja $(3-2x)=0\Rightarrow x={\frac {3}{2}}$. Kanname saadud punktid reaalarvude teljele ja joonestame välja ruutfunktsiooni graafikuks oleva parabooli. Parabool avaneb alla, sest avades sulud (x+1)(3-2x) saame ruutliikme kordajaks negatiivse arvu. Graafikult võime lugeda, et võrratuse lahenditeks on vahemik $-1<x<{\frac {3}{2}}$

Kirjandus

• Lepmann, L.; Lepmann,T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10. klassile. Tallinn, Koolibri. ISBN 9985-0-0978-9.{{cite book}}: CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link)
• Sirje Trahv "Ruutvõrrand ja võrratus" http://rakgym.edu.ee/opetajad/sirjetrahv/ruutv/ruutvrratuse_lahendamise_etapid.html#
• Lepmann, L., Velsker, K.(2000) Matemaatika 8. klassile. Tallinn, Koolibri.
• Merle Sukk "Ruutvõrratus" http://www.vmg.vil.ee/oppematerjalid/matemaatika/Merle_Sukk/10_klass/